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Xcas au lycée

Dernier ajout : 7 juin 2008.

Articles de cette rubrique

    7 juin 2008

  • Barycentres avec Xcas

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les barycentres avec Xcas.

    Enoncé


    On donne A(1~;~-1), B(5~;~-3), C(2~;~3) et G(2~;~0).

    Déterminer les nombres coefficients entiers \alpha, \beta et \gamma tels que G soit le barycentre des points (A,\alpha), (B,\beta) et (C,\gamma).

    Résolution à l’aide de Xcas


    On commence dans une session Xcas par ouvrir une fenêtre de géométrie 2D :

    Menu Editer —> ajouter —> geo2d exact

    A gauche de la fenêtre graphique, on rentre les instructions suivantes :

    A:=point(1,-1);
    B:=point(5,-3);
    C:=point(2,3);
    triangle(A,B,C);
    G:=point(2,0);

    JPEG - 43.8 ko

    On cherche dans un premier temps des coefficients b et c tels que
    G soit le barycentre des points (A,1), (B,b) et (C,c).

    v:vecteur(G,A)+b*vecteur(G,B)+c*vecteur(G,C);

    Pour visualiser les coordonnées du vecteur :

    coordonnees(v)

    [1+3b-2,-1-3b+3c]

    On résout le système :

    resoudre_systeme_lineaire([abscisse(v)=0,ordonnee(v)=0],[b,c])

    [\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}]

    En multipliant les coefficients par 3, on retombe sur des entiers.

    On vérifie en demandant les coordonnées du barycentre en question qui doivent correspondre à celles de G ;

    coordonnees(barycentre([A,3],[B,1],[C,2]))

    [2,0]


  • 25 mai 2008

  • Surface et lignes de niveaux avec Xcas

    Voici comment on peut visualiser une surface et des lignes de niveaux avec Xcas.

    A noter que l’on peut choisir de visualiser :
    - un plan x=k, y=k ou z=k.
    - une ligne de niveau x=k, y=k ou z=k.

    Programme surface.xws


    Zip - 18 ko
    surface.xws.zip


    /* On rentre l’expression de la fonction z=f(x,y).
    */
    f :=x^2+y^2 ;
    /* On rentre les valeurs des bornes.
    */
    xmin :=-5 ;
    xmax :=5 ;
    ymin :=-5 ;
    ymax :=5 ;
    /* Dans le module suivant, on peut choisir d’afficher des plans de base et les lignes de niveaux associées.
    Pour cela, il suffit de remplacer le " :" par un " :=" pour les plans ou les lignes voulus.
    Ne pas oublier de relancer la ligne 1.
    */
    s :=plotfunc(f,[x=(xmin .. xmax),y=(ymin .. ymax)]) ;
    pz :=plan(z=20,’affichage’=(bleu+rempli)) ;
    Lz :=affichage(inter(s,pz),bleu+line_width_3) ;
    px :(plan(x=0.5,’affichage’=(vert+rempli))) ;
    Lx :(affichage(inter(s,px),vert+line_width_3)) ;
    p_y :(plan(y=0.5,’affichage’=(rouge+rempli))) ;
    L_y :(affichage(inter(s,p_y),rouge+line_width_3)) ;
    undef ;
    /* Afffichage de lignes de niveaux z=constante.
    */
    plotcontour(f,[x=(xmin .. xmax),y=(ymin .. ymax)],[5,10,15],’affichage’=bleu) ;

    Les images


    JPEG - 73.9 ko
    Surface avec une ligne de niveau z=constante.
    JPEG - 40.4 ko
    Lignes de niveaux z=constante.

  • 23 mai 2008

  • Equations différentielles avec Xcas

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les équations différentielles

    Enoncé


    1) Résoudre sur \R l’équation différentielle : y'-3y=0.

    2) Résoudre sur \R l’équation différentielle : y'-3y=sin x.

    3) Résoudre sur \R l’équation différentielle y'-3y=0 avec y(0)=1.

    Résolution à l’aide de Xcas


    1) Résoudre sur \R l’équation différentielle : y'-3y=0.

    deSolve(y'-3y=0,y)

    \frac{\mbox{c\_0}}{e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}}

    2) Résoudre sur \R l’équation différentielle : y'-3y=sin x.

    deSolve(y'-3y=sin(x),y)

    \frac{10\cdot \mbox{c\_0}-\left(\mbox{cos}\left(\mbox{x}\right)\cdot e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}\right)\mbox{+}-3\cdot e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}\cdot \mbox{sin}\left(\mbox{x}\right)}{10\cdot e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}}

    propFrac(ans())

    \frac{1}{e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}}\cdot \mbox{c\_0}\mbox{+}\frac{-\left(\mbox{cos}\left(\mbox{x}\right)\right)-\left(3\cdot \mbox{sin}\left(\mbox{x}\right)\right)}{10}

    3) Résoudre sur \R l’équation différentielle y'-3y=0 avec y(0)=1.

    deSolve([y'-3y=0,y(0)=1],y)

    [\frac{1}{e^{\mbox{-}\left(3\cdot \mbox{x}\right)}}]


  • 30 avril 2008

  • Les histogrammes avec Xcas

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les histogrammes).

    Enoncé


    Soit la série suivante :

    5,1,4,6,7,9,4,5,8,6,7,4,2,5,9,7,1,4,5,0,5,1,4,5,6,1,7,8,9,4,3,7,1

    1) Regrouper les effectifs dans les classes suivantes :

    [0~;~2[, [2~;~4[, [4~;~6[,[6~;~8[,[8~;~10].

    2) Construire l’histogramme correspondant.

    3) Regrouper les effectifs dans les classes suivantes :

    [0~;~2[, [2~;~4[, [4~;~5[,[5~;~6[,[6~;~7[,[7~;~10].

    4) Construire l’histogramme correspondant. On donnera les amplitudes et les densités utilisées.

    Résolution à l’aide de Xcas


    X:=[5,1,4,6,7,9,4,5,8,6,7,4,2,5,9,7,1,4,5,0,5,1,4,5,6,1,7,8,9,4,3,7,1]

    1) Regrouper les effectifs dans les classes suivantes :

    [0~;~2[, [2~;~4[, [4~;~6[,[6~;~8[,[8~;~10],

    C:=classes(X,0,2)

    \left(\begin{array}{cc}
     0.0 ..      2.0 & 6 \\
     2.0 ..      4.0 & 2 \\
     4.0 ..      6.0 & 12 \\
     6.0 ..      8.0 & 8 \\
     8.0 ..     10.0 & 5
\end{array}\right)

    2) Construire l’histogramme correspondant.

    histogram(C,affichage=vert+rempli+line_width_3)

    JPEG - 57.8 ko

    3) Regrouper les effectifs dans les classes suivantes :

    [0~;~2[, [2~;~4[, [4~;~5[,[5~;~6[,[6~;~7[,[7~;~10].

    C:=classes(X,[0..2,2..4,4..5,5..6,6..7,7..10])

    \left(\begin{array}{cc}
0 .. 2 & 6 \\
2 .. 4 & 2 \\
4 .. 5 & 6 \\
5 .. 6 & 6 \\
6 .. 7 & 3 \\
7 .. 10 & 10
\end{array}\right)

    4) Construire l’histogramme correspondant. On donnera les amplitudes et les densités utilisées.

    histogram(C,affichage=vert+rempli+line_width_3)

    JPEG - 27.1 ko

    amplitudes_densites(C):={
    local n,M,j;
    n:=size(C);
    M:=matrix(4,n+1);
    M[0,0]:="Intervalles";
    M[1,0]:="Effectifs";
    M[2,0]:="Amplitudes";
    M[3,0]:="Densités";

    for (j:=1;j<=n;j:=j+1)
    {
     M[0,j]:=C[j-1,0];
     M[1,j]:=C[j-1,1];
     M[2,j]:=right(M[0,j])-left(M[0,j]);
     M[3,j]:=evalf(M[1,j]/M[2,j]);
    }
    return M;
    }
    :;

    // Parsing amplitudes_densites

    // Success compiling amplitudes_densites

    amplitudes_densites(C)

    \left[\begin{array}{ccccccc}
\mbox{Intervalles} & 0 .. 2 & 2 .. 4 & 4 .. 5 & 5 .. 6 & 6 .. 7 & 7 .. 10 \\
\mbox{Effectifs} & 6 & 2 & 6 & 6 & 3 & 10 \\
\mbox{Amplitudes} & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
\mbox{Densites} &      3.0 &      1.0 &      6.0 &      6.0 &      3.0 &      3.333333
\end{array}\right]


  • Statistiques à une variable avec effectifs avec Xcas

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les statistiques à une variable avec effectifs.

    Enoncé


    Soit la série statistique suivante :

    X 0 5 10 15 20 25 30
    Effectifs 45 20 5 30 35 15 50

    1) Donner les principaux paramètres de cette série (moyenne, écart-type, ...)

    2) Tracer le diagramme en bâtons correspondant.

    3) Tracer le camembert correspondant.

    Résolution à l’aide de Xcas


    X:=[0,5,10,15,20,25,30]

    [0,5,10,15,20,25,30]

    Effectifs:=[45,20,5,30,35,15,50]

    [45,20,5,30,35,15,50]

    1) Donner les principaux paramètres de cette série (moyenne, écart-type, ...)

    var1stat_eff_e(X,E):={
    local x,y,S;
    print("- N : "+normal(sum(E))+";");
    print("- Moyenne : "+normal(moyenne(X,E))+";");
    print("- Variance : "+normal(variance(X,E))+";");
    print("- Ecart-type : "+normal(ecart_type(X,E))+";");
    S:=zip((x,y)->x*y,X,E);
    print("- Somme : "+normal(sum(S))+";");
    S:=zip((x,y)->x^2*y,X,E);
    print("- Somme des x^2 : "+normal(sum(S))+";");
    print("- Médiane : "+normal(median(X,E))+";");
    print("- Q1 : "+normal(quartile1(X,E))+";");
    print("- Q3 : "+normal(quartile3(X,E))+";");
    print("- D1 : "+normal(quantile(X,E,0.1))+";");
    print("- D9 : "+normal(quantile(X,E,0.9))+";");
    print("- Min : "+normal(min(X))+";");
    print("- Max : "+normal(max(X))+";");
    }
    :;

    // Success

    // Success

    // Parsing var1stat_eff_e

    // Success compiling var1stat_eff_e

    var1stat_eff_e(X,Effectifs)

    "- N : 200 ;"

    "- Moyenne : 127/8 ;"

    "- Variance : 8231/64 ;"

    "- Ecart-type : sqrt(8231)/8 ;"

    "- Somme : 3175 ;"

    "- Somme des x^2 : 2275 ;"

    "- Médiane : 20.0 ;"

    "- Q1 : 15.0 ;"

    "- Q3 : 25.0 ;"

    "- D1 : 5.0 ;"

    "- D9 : 30.0 ;"

    "- Min : 0 ;"

    "- Max : 30 ;"

    Si on veut les valeurs approchées :

    var1stat_eff_a(X,E):={
    local x,y,S;
    print("- N : "+sum(E)+";");
    print("- Moyenne : "+evalf(moyenne(X,E))+";");
    print("- Variance : "+evalf(variance(X,E))+";");
    print("- Ecart-type : "+evalf(ecart_type(X,E))+";");
    S:=zip((x,y)->x*y,X,E);
    print("- Somme : "+evalf(sum(S))+";");
    S:=zip((x,y)->x^2*y,X,E);
    print("- Somme des x^2 : "+evalf(sum(S))+";");
    print("- Médiane : "+evalf(median(X,E))+";");
    print("- Q1 : "+evalf(quartile1(X,E))+";");
    print("- Q3 : "+evalf(quartile3(X,E))+";");
    print("- D1 : "+evalf(quantile(X,E,0.1))+";");
    print("- D9 : "+evalf(quantile(X,E,0.9))+";");
    print("- Min : "+evalf(min(X))+";");
    print("- Max : "+evalf(max(X))+";");
    }
    :;

    // Success

    // Success

    // Parsing var1stat_eff_a

    // Success compiling var1stat_eff_a

    var1stat_eff_a(X,Effectifs)

    "- N : 200 ;"

    "- Moyenne : 15.875 ;"

    "- Variance : 128.609375 ;"

    "- Ecart-type : 11.3406073471 ;"

    "- Somme : 3175.0 ;"

    "- Somme des x^2 : 2275.0 ;"

    "- Médiane : 20.0 ;"

    "- Q1 : 15.0 ;"

    "- Q3 : 25.0 ;"

    "- D1 : 5.0 ;"

    "- D9 : 30.0 ;"

    "- Min : 0.0 ;"

    "- Max : 30.0 ;"

    2) Tracer le diagramme en bâtons correspondant.

    diagramme_batons(X,Effectifs)

    JPEG - 65.5 ko

    3) Tracer le camembert correspondant.

    camembert(X,Effectifs)

    JPEG - 37.8 ko

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