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Maxima au lycée

Dernier ajout : 8 avril 2008.

Articles de cette rubrique

    8 avril 2008

  • Fonctions rationnelles avec Maxima

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les fonctions rationnelles.

    Enoncé


    Soit la fonction f définie sur ]1~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{x^2-5x-3}{x-1}.

    1) Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}.

    2) Montrer que la courbe ({\cal C}_f) admet une asymptote oblique (d) en +\infty que l’on précisera.

    Résolution à l’aide de Maxima


    f(x):=(x^2-5*x-3)/(x-1);

    f(x):=\dfrac{x^2-5x-3}{x-1}

    1) Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}.

    Effectuons la division euclidienne de x^2-5x-3 par x-1.

    divide(x^2-5*x-3,x-1)

    \left[ x-4 , -7 \right]

    D´où

    f(x)=x-4-\dfrac{7}{x-11}

    2) Montrer que la courbe ({\cal C}_f) admet une asymptote oblique (d) en +\infty que l’on précisera.

    h(x):=-7/(x-1)

    h(x):=\dfrac{-7}{x-1}

    limit(h(x),x,inf)

    O


  • 3 avril 2008

  • Dérivées et tangentes avec Maxima

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les dérivées et les tangentes.

    Enoncé


    Soit la fonction f définie sur \mathb{R} par f(x)=\dfrac{x-3}{x^2+1}.

    1) Calculer f'(x).

    2) Calculer f'(2).

    3) Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe ({\cal C}_f) représentative de f au point A d’abscisse 2.

    Résolution à l’aide de Maxima


    f(x):=(x-3)/(x^2+1);

    f(x):=\dfrac{x-3}{x^2+1}

    1) Calculer f'(x).

    diff(f(x),x);

    {{1}\over{x^2+1}}-{{2\,\left(x-3\right)\,x}\over{\left(x^2+1\right) ^2}}

    define('g(x),factor(%))

    g(x):=-{{x^2-6\,x-1}\over{\left(x^2+1\right)^2}}

    2) Calculer f'(2).

    g(2)

    {{9}\over{25}}

    3) Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe ({\cal C}_f) représentative de f au point A d’abscisse 2.

    g(2)*(x-2)+f(2)

    {{9\,\left(x-2\right)}\over{25}}-{{1}\over{5}}

    radcan(%)

    {{9\,x-23}\over{25}}


  • 2 avril 2008

  • Résolution de systèmes linéaires avec Maxima

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les systèmes linéaires.

    Enoncé


    Résoudre le système

    
\left\{
  \begin{array}[l]{rcrcr@{\quad = \quad}c}
    2a & - & 3b & + &3c & 3\\
    5a & + & b & - & c & 16\\
    4a & - & 2b & + & 5c & 13\\
  \end{array}
\right.

    Résolution à l’aide de Maxima


    linsolve([2*a-3*b+3*c=3, 5*a+b-c=16, 4*a-2*b+5*c=13], [a,b,c])

    \left[ a=3 , b=2 , c=1 \right]


  • Equation matricielle avec Maxima

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les équations matricielles (systèmes linéaires).

    Enoncé


    Résoudre l’équation matricielle AX=B avec

    A= \begin{pmatrix}
2&1&3\\
1&0&1\\ 
1&1&0\\ 
\end{pmatrix}
    et
    B= \begin{pmatrix}
5\\
3\\ 
2\\ 
\end{pmatrix}.

    Résolution à l’aide de Maxima


    On rentre la matrice A :

    A:entermatrix(3,3);
    Is the matrix  1. Diagonal  2. Symmetric  3. Antisymmetric  4. General
    Answer 1, 2, 3 or 4 : 4;
    Row 1 Column 1: 2;
    Row 1 Column 2: 1;
    Row 1 Column 3: 3;
    Row 2 Column 1: 1;
    Row 2 Column 2: 0;
    Row 2 Column 3: 1;
    Row 3 Column 1: 1;
    Row 3 Column 2: 1;
    Row 3 Column 3: 0;

    Matrix entered

    \begin{pmatrix}
2&1&3\\
1&0&1\\ 
1&1&0\\ 
\end{pmatrix}

    On rentre la matrice B :

    B:entermatrix(3,1);
    Row 1 Column 1: 5;
    Row 2 Column 1: 3;
    Row 3 Column 1: 2;

    Matrix entered

     \begin{pmatrix}
5\\
3\\ 
2\\ 
\end{pmatrix}

    On calcule X :

    X:invert(A).B

     \begin{pmatrix}
3\\
-1\\ 
0\\ 
\end{pmatrix}


  • Matrice symétrique associée à un graphe avec Maxima

    Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les graphes.

    Enoncé


    JPEG - 12.8 ko

    1) Donner la matrice M associé au graphe ci-dessus.

    2) Calculer M^3.

    3) En déduire le nombre de chemin de longueur 3 permettant d’aller de B à F.

    Résolution à l’aide de Maxima


    1) Donner la matrice M associé au graphe ci-dessus.

    M:entermatrix(8,8);
    Is the matrix  1. Diagonal  2. Symmetric  3. Antisymmetric  4. General
    Answer 1, 2, 3 or 4 : 2;
    Row 1 Column 1: 0;
    Row 1 Column 2: 1;
    Row 1 Column 3: 1;
    Row 1 Column 4: 1;
    Row 1 Column 5: 1;
    Row 1 Column 6: 0;
    Row 1 Column 7: 1;
    Row 1 Column 8: 0;
    Row 2 Column 2: 0;
    Row 2 Column 3: 1;
    Row 2 Column 4: 0;
    Row 2 Column 5: 0;
    Row 2 Column 6: 0;
    Row 2 Column 7: 0;
    Row 2 Column 8: 0;
    Row 3 Column 3: 0;
    Row 3 Column 4: 0;
    Row 3 Column 5: 1;
    Row 3 Column 6: 0;
    Row 3 Column 7: 1;
    Row 3 Column 8: 0;
    Row 4 Column 4: 0;
    Row 4 Column 5: 1;
    Row 4 Column 6: 0;
    Row 4 Column 7: 0;
    Row 4 Column 8: 1;
    Row 5 Column 5: 0;
    Row 5 Column 6: 1;
    Row 5 Column 7: 1;
    Row 5 Column 8: 0;
    Row 6 Column 6: 0;
    Row 6 Column 7: 0;
    Row 6 Column 8: 1;
    Row 7 Column 7: 0;
    Row 7 Column 8: 1;
    Row 8 Column 8: 0;

    Matrix entered

     \begin{pmatrix}
0&1&1&1&1&0&1&0\\
1&0&1&0&0&0&0&0\\ 
1&1&0&0&1&0&1&0\\ 
1 &0&0&0&1&0&0&1\\ 
1&0&1&1&0&1&1&0\\ 
0&0&0&0&1&0&0&1\\ 
1&0&1&0&1&0&0 &1\\ 
0&0&0&1&0&1&1&0\\
\end{pmatrix}

    2) Calculer M^3.

    P:M^^3

     \begin{pmatrix}
10&8&11&10&12&5&13&4\\
8&2&7&3&5&2&4&3\\
11&7&8&6&12&3&10 &5\\ 
10&3&6&2&11&1&4&8\\
12&5&12&11&8&8&13&3\\ 
5&2&3&1&8&0&2&6 \\
13&4&10&4&13&2&6&9\\
4&3&5&8&3&6&9&0\\
\end{pmatrix}

    3) En déduire le nombre de chemin de longueur 3 permettant d’aller de B à F.

    P[2,6]

    2


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