Les suites récurrentes avec Xcas

Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les suites.

Enoncé


Soit la suite $\left(U_n \right)_(n \in \N)$ définie par :

$$U_0=-1 \qquad \textrmet \qquad U_n+1=\dfrac14 U_n+3.$$

1) Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$.

2) On considère un repère orthonormal. Tracer dans ce repère la droite (D) d’équation $y = 0,25x + 3$ et la droite ($\Delta$) d’équation $y = x$, pour les abscisses comprises entre 0 et 5.

Placer $U_0$ sur l’axe des abscisses. Utiliser les droites précédentes pour placer sur l’axe des abscisses les valeurs $U_1,~ U_2$, $U_3$, $U_4$ et $U_5$.

3) Calculer $S=U_0+U_1+ \cdots + U_10$.

Résolution à l’aide de Xcas


u(n):= si n==0 alors uo; sinon a*u(n-1)+b; fsi :;

// Parsing u // Warning: a b u uo declared as global variable(s) compiling u u: recursive definition

a:=0.25

$$0.25$$

b:=3

$$3$$

uo:=-1

$$-1$$

1) Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$.

u(1)

$$2.75$$

u(2)

$$3.6875$$

u(3)

$$3.921875$$

2) On considère un repère orthonormal. Tracer dans ce repère la droite (D) d’équation $y = 0,25x + 3$ et la droite ($\Delta$) d’équation $y = x$, pour les abscisses comprises entre 0 et 5.

Placer $U_0$ sur l’axe des abscisses. Utiliser les droites précédentes pour placer sur l’axe des abscisses les valeurs $U_1,~ U_2$, $U_3$, $U_4$ et $U_5$.

graphe_suite(a*x+b,uo,5)

session.jpg

3) Calculer $S=U_0+U_1+ \cdots + U_10$.

s(n):= local S,j; S:=uo; si n==0 alors S; sinon pour j de 1 jusque n pas 1 faire S:=S+u(j); fpour fsi :;

// Parsing s // Warning: uo u declared as global variable(s) compiling s

s(10)

$$37.3333349228$$